Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)
    • Die komplexen ZahlenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7)
    • Supremum und InfimumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • Wurzel reeller ZahlenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • FolgenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Konvergenz und DivergenzKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • ReihenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • Konvergenzkriterien für ReihenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
      • Übersicht KonvergenzkriterienKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
      • Cauchy-KriteriumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
      • TrivialkriteriumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
      • Beschränkte Reihen und KonvergenzKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
      • Majoranten- und MinorantenkriteriumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
      • WurzelkriteriumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
      • QuotientenkriteriumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
      • Leibniz-KriteriumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
      • VerdichtungskriteriumKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
      • Anwendung der KonvergenzkriterienKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)
      • Aufgaben
    • PotenzreihenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27)
    • StetigkeitKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28)
    • AbleitungKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29)
    • IntegraleKonvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30)

Wir haben geklärt, dass eine Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32) der Folge Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33) der Partialsummen entspricht. Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Ansonsten divergiert die Reihe. Im Fall der Konvergenz entspricht Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34) auch dem Grenzwert der Partialsummenfolge.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, woran man erkennen kann, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert. Zur Beantwortung dieser Frage gibt es nämlich diverse Konvergenzkriterien, die wir nun betrachten. Diese Konvergenzkriterien werden wir in den nächsten Kapiteln detaillierter besprechen.

Kriterien für Konvergenz[Bearbeiten]

Die Beweise der folgenden Sätze sind in den Hauptartikeln des jeweiligen Kriteriums behandelt.Gegeben sei eine Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35). Es gibt folgende Kriterien, um die Konvergenz dieser Reihe festzustellen:

Absolute Konvergenz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Absolute Konvergenz einer Reihe

Definition(Absolute Konvergenz)

Eine Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36) heißt absolut konvergent, falls Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37) konvergiert.

Satz(absolute Konvergenz)

Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren normale Konvergenz. Wenn also Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38) konvergiert, dann konvergiert auch Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39).

Beispiel(absolute Konvergenz)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40) konvergiert, weil sie absolut konvergiert. Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41) ihrer Absolutbeträge konvergiert nämlich.

Cauchy-Kriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchy-Kriterium für Reihen

Satz(Cauchy-Kriterium)

Gibt es für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42) ein Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43), so dass Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45) ist, dann konvergiert die Reihe.

Beispiel(Cauchy-Kriterium)

Die geometrische Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46) konvergiert nach dem Cauchy-Kriterium, denn es ist

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48). Da Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) ist, gibt es ein Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50) mit Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52). Für dieses Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) ist nach der obigen Umformung auch Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55). Damit konvergiert die Reihe nach dem Cauchy-Kriterium.

Leibniz-Kriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Leibniz-Kriterium

Satz(Leibniz-Kriterium)

Wenn die Reihe die Form Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) hat und wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57) eine nichtnegative monoton fallende Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe.

Beispiel(Leibniz-Kriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58) konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, weil die Folge Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59) eine monoton fallende Nullfolge ist.

Majorantenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Satz(Majorantenkriterium)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61). Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) konvergiert, dann konvergiert die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) absolut.

Beispiel(Majorantenkriterium)

Es ist Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64). Damit ist Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65). Weil Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66) konvergiert (nämlich gegen 1), konvergiert die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67). Weil alle Summanden positiv sind, ist die Konvergenz absolut.

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Quotientenkriterium

Satz(Quotientenkriterium für Konvergenz)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68) eine Reihe mit Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70). Wenn es ein Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71) und ein Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) gibt, so dass Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74) ist, dann ist die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) absolut konvergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) oder wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77) ist.

Beispiel(Quotientenkriterium für Konvergenz)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) konvergiert, denn es ist

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79)

Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Wurzelkriterium

Satz(Wurzelkriterium für Konvergenz)

Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) ist, dann konvergiert die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82) ist.

Beispiel(Wurzelkriterium für Konvergenz)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83) konvergiert absolut, denn es ist

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84)

Verdichtungskriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchysches Verdichtungskriterium

Satz(Verdichtungskriterium)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85) eine monoton fallende reelle Nullfolge mit Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87). Falls Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88) konvergiert, so konvergiert auch Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89).

Beispiel(Verdichtungskriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90) konvergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) wegen Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92) konvergiert.

Integralkriterium[Bearbeiten]

Satz(Integralkriterium)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93), also Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94) für eine Funktion Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95). Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) auf Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97) eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98) ist, dann konvergiert die Reihe absolut.

Beispiel(Integralkriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99) konvergiert absolut, denn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100) mit Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101) ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102)

Hinweis

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

Kriterien für Divergenz[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103). Es gibt folgende Kriterien, um die Divergenz dieser Reihe festzustellen:

Trivialkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium

Satz(Trivialkriterium)

Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104) divergiert oder Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105) ist, dann ist die Reihe divergent.

Beispiel(Trivialkriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106) divergiert, denn es ist

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107)

Damit kann Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108) keine Nullfolge sein, was beweist, dass Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109) divergiert.

Cauchy-Kriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchy-Kriterium für Reihen

Satz(Cauchy-Kriterium)

Gibt es ein Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110), so dass es für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) natürliche Zahlen Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112) mit Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) gibt, dann divergiert die Reihe.

Beispiel(Cauchy-Kriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) divergiert nach dem Cauchy-Kriterium. Setzen wir nämlich Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115), so können für jedes Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116) die Zahlen Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117) und Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118) gewählt werden. Es ist dann

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119)

Minorantenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Satz(Minorantenkriterium)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) für fast alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121). Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122) divergiert, dann divergiert auch die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123).

Beispiel(Minorantenkriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124) divergiert. Es ist nämlich Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126), und die harmonische Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) divergiert. In einer Gleichung aufgeschrieben:

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128)

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Quotientenkriterium

Satz(Quotientenkriterium für Divergenz)

Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) für fast alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130) ist (also für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) für ein festes Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132)), dann ist die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) divergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134) ist.

Beispiel(Quotientenkriterium für Divergenz)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) divergiert. Es ist nämlich:

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136)

Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Wurzelkriterium

Satz(Wurzelkriterium für Divergenz)

Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) ist, dann divergiert die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138) absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139) ist.

Beispiel(Wurzelkriterium für Divergenz)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140) divergiert, denn es ist

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141)

Verdichtungskriterium[Bearbeiten]

Hauptartikel: Cauchysches Verdichtungskriterium

Satz(Verdichtungskriterium)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142) eine monoton fallende reelle Nullfolge mit Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) für alle Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144). Falls Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145) divergiert, so divergiert auch Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146).

Beispiel(Verdichtungskriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147) divergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148) divergiert.

Integral-Kriterium[Bearbeiten]

Satz(Integral-Kriterium)

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149), also Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) für eine Funktion Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151). Wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152) auf Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153) eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) ist, dann divergiert die Reihe.

Beispiel(Integral-Kriterium)

Die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) divergiert, denn Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) mit Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158)

Hinweis

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

Hinweis

Weitere Beispiele zur Anwendung der Konvergenzkriterien befinden sich in den Einzelkapiteln zu den Konvergenzkriterien, im Kapitel Anwendung der Konvergenzkriterien und in den Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen.

Anfangswert des Laufindex ist für Konvergenzverhalten egal[Bearbeiten]

Im Abschnitt zum Cauchy-Kriterium haben wir festgestellt, dass es für die Frage der Konvergenz egal ist, ab welchem Anfangswert der Laufindex startet. Wenn wir also eine Reihe der Form Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159) haben, dann können wir auch die Reihen Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) oder Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161) betrachten. Alle diese Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten. Merke dir also:

„Für die Konvergenz einer Reihe können endlich viele Summanden weggelassen oder verändert werden, das Konvergenzverhalten wird dabei nicht geändert.“

Durch das Ändern von endlich vielen Summanden änderst du zwar den Wert der Reihe, das Konvergenzverhalten bleibt aber erhalten. Dieser Umstand ist nützlich, und du solltest dies immer im Hinterkopf haben. Es kann insbesondere in solchen Fällen hilfreich sein, in denen du dich nur für das Konvergenzverhalten einer Reihe interessierst, nicht aber für ihren Wert.

Beispiel

Sei Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162) definiert durch

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163)

Fast alle Glieder der Folge Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) sind identisch mit der Folge Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165) (es gibt nur endlich viele Ausnahmen). Da nun die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) konvergiert, konvergiert auch die Reihe Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167), jedoch ist der Grenzwert beider Reihen unterschiedlich.

Cauchy-Kriterium

Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168)

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Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)
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