Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Table of Contents
Intuitionen der Ableitung[Bearbeiten] Ableitung als momentane Änderungsrate[Bearbeiten] Berechnung der Ableitung[Bearbeiten] Konkretisierung[Bearbeiten] Verfeinerung der Definition[Bearbeiten] Die h-Methode[Bearbeiten] Anwendungen in den Naturwissenschaften[Bearbeiten] Definitionen[Bearbeiten] Ableitung und Differenzierbarkeit[Bearbeiten] Differenzenquotient und Differentialquotient[Bearbeiten] Ableitungsfunktion[Bearbeiten] Notationen[Bearbeiten] Übersicht zu allen Notationen[Bearbeiten] Ableitung als Tangentensteigung[Bearbeiten] Ableitung als Steigung der lokal besten linearen Approximation[Bearbeiten] Approximation einer differenzierbaren Funktion[Bearbeiten] Beispiel: Kleinwinkelnäherung des Sinus[Bearbeiten] Qualität der Approximation[Bearbeiten] Alternative Definition der Ableitung[Bearbeiten] Beschreibung der Ableitung über stetige Funktion [Bearbeiten] Ableitung als verallgemeinerte Steigung[Bearbeiten] Beispiele[Bearbeiten] Beispiel einer differenzierbaren Funktion[Bearbeiten] Beispiel einer nicht differenzierbaren Funktion[Bearbeiten] Links- und rechtsseitige Ableitung[Bearbeiten] Definition[Bearbeiten] Beispiel[Bearbeiten] Differenzierbare Funktionen sind knickfrei[Bearbeiten] Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit, Stetigkeit und stetiger Differenzierbarkeit[Bearbeiten] Jede differenzierbare Funktion ist stetig[Bearbeiten] Anwendung: Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar[Bearbeiten] Beispiel: Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar[Bearbeiten] Nicht jede differenzierbare Funktion ist stetig differenzierbar[Bearbeiten] Übungsaufgaben[Bearbeiten] Hyperbelfunktion[Bearbeiten] Wurzelfunktion[Bearbeiten] Bestimmung von Grenzwerten[Bearbeiten] Kriterium für Differenzierbarkeit[Bearbeiten] Einzelnachweise Quellen
  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)
    • Die komplexen ZahlenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7)
    • Supremum und InfimumAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • Wurzel reeller ZahlenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • FolgenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Konvergenz und DivergenzAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • ReihenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • Konvergenzkriterien für ReihenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
    • PotenzreihenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
    • StetigkeitAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
    • AbleitungAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
      • AbleitungAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
      • AbleitungsregelnAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
      • Spezielle AbleitungsregelnAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
      • Ableitung der UmkehrfunktionAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
      • Beispiele für AbleitungenAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)
      • Ableitung höherer OrdnungAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25)
      • Satz von RolleAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)
      • MittelwertsatzAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27)
      • KonstanzkriteriumAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28)
      • MonotoniekriteriumAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29)
      • Ableitung und lokale ExtremaAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30)
      • Regel von L'HospitalAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31)
      • Übersicht: Stetigkeit und DifferenzierbarkeitAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32)
      • Aufgaben 1
      • Aufgaben 2
      • Aufgaben 3
      • Aufgaben 4
    • IntegraleAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33)

Mit der Ableitung werden wir eines der wichtigsten Konzepte der Analysis kennenlernen. Die Ableitung entspricht der Änderungsrate einer Funktion. Sie wird in den Naturwissenschaften oft genutzt, um in mathematischen Modellen die Veränderung eines Systems zu modellieren. Mit Hilfe der Ableitung können wir eine Funktion auf viele ihrer Eigenschaften untersuchen.

Intuitionen der Ableitung[Bearbeiten]

Für die Ableitung gibt es mehrere Intuitionen, die alle eng zusammenhängen:

  • Ableitung als momentane Änderungsrate: Die Ableitung entspricht dem, was wir intuitiv als momentane Änderungsrate einer Funktion verstehen. Eine Änderungsrate beschreibt dabei, wie stark sich eine Größe bezüglich einer anderen Bezugsgröße ändert. Bei der momentanen Änderungsrate wird diese Bezugsgröße als „unendlich klein“ angenommen. Es wird also der Grenzwert der Änderungsrate betrachtet, wenn die Bezugsgröße gegen Null konvergiert. Ein Beispiel hierfür ist die Geschwindigkeit. Diese ist die momentane Änderungsrate des Ortes bezüglich der Zeit und gibt an, wie stark sich der Ort eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Zeit ändert.
  • Ableitung als Tangentensteigung: Die Ableitung entspricht der Steigung, die die Tangente des Graphen an der Stelle der Ableitung besitzt. Damit löst die Ableitung das geometrische Problem, die Tangente an einen Graphen durch einen Punkt zu bestimmen.
  • Ableitung als Steigung der lokal besten linearen Approximation: Jede an einer Stelle ableitbare Funktion kann in einer Umgebung um diesen Punkt gut durch eine lineare Funktion approximiert werden. Die Ableitung entspricht der Steigung dieser linearen Funktion. Damit kann die Ableitung genutzt werden, um Funktionen lokal durch lineare Funktionen gut anzunähern.
  • Ableitung als verallgemeinerte Steigung: Zunächst ist der Begriff der Steigung einer Funktion nur für lineare Funktionen definiert. Man kann die Ableitung aber benutzen, um die Steigung auch für nicht-lineare Funktionen zu definieren.

Diese Intuitionen werden wir im Folgenden detailliert besprechen und aus ihnen eine formale Definition der Ableitung herleiten. Außerdem werden wir sehen, dass ableitbare Funktionen „knickfrei“ sind, weshalb sie auch glatte Funktionen genannt werden.

Ableitung als momentane Änderungsrate[Bearbeiten]

Berechnung der Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung entspricht der momentanen Änderungsrate einer Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34). Wie kann diese momentane Änderungsrate einer Funktion bestimmt oder definiert werden? Sei zum Beispiel Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35) eine reellwertige Funktion, die folgenden Graph besitzt:

So kann Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37) eine physikalische Größe in Abhängigkeit von einer anderen Größe beschreiben. Beispielsweise könnte Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38) dem zurückgelegten Weg eines Objekts zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39) entsprechen. Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40) könnte auch der Luftdruck in der Höhe Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41) oder die Populationsgröße einer Art zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42) sein. Nehmen wir nun das Argument Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43), an dem die Funktion den Funktionswert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44) besitzt:

Nehmen wir einmal an, dass Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46) der zurückgelegte Weg eines Autos zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) ist. Dann ist die momentane Änderungsrate von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) gleich der Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50). Wie kann diese Geschwindigkeit bestimmt werden?

Anstatt die Geschwindigkeit direkt zu berechnen, können wir sie schätzen. Wir nehmen einen Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51) in der Zukunft und schauen, welchen Weg das Auto im Zeitraum von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) bis Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) zurückgelegt hat. Der in dieser Zeit zurückgelegte Weg ist gleich der Differenz Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54), während die Zeitdifferenz gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55) ist. Nun ist die Geschwindigkeit gleich dem Quotienten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56). Damit hat das Auto im Zeitraum von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57) nach Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58) die durchschnittliche Geschwindigkeit

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59)

Dieser Quotient, der die durchschnittliche Änderungsrate von der Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) im Intervall Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61) angibt, wird Differenzenquotient genannt. Entsprechend seines Namens ist er ein Quotient von zwei Differenzen. In folgender Abbildung sehen wir, dass dieser Differenzenquotient gleich der Steigung derjenigen Sekante ist, die durch die Punkte Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) geht:

Diese durchschnittliche Geschwindigkeit ist eine erste Approximation der aktuellen Geschwindigkeit unseres Autos zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65). Nun muss die Bewegung des Autos zwischen den Zeitpunkten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67) nicht gleichförmig verlaufen sein – es kann beschleunigen oder abbremsen. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68) ist also im Allgemeinen eine andere als die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitraum zwischen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70). Ein besseres Ergebnis sollten wir erhalten, wenn wir den Zeitraum für die Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit verkürzen. Wir betrachten also einen Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71), der näher an Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) liegt, und bestimmen die durchschnittliche Geschwindigkeit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) für den neuen Zeitraum zwischen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75):

Diesen Prozess wiederholen wir beliebig oft. Wir betrachten also eine Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77) von Zeitpunkten, die alle von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) verschieden sind und die gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79) konvergieren. Für jedes Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) berechnen wir die durchschnittliche Geschwindigkeit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) des Autos im Zeitraum von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82) bis Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83). Je kürzer Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84) ist, desto weniger sollte das Auto in diesem Zeitraum beschleunigen oder abbremsen können und umso mehr entspricht dann die durchschnittliche Geschwindigkeit der momentanen Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85):

Weil der Zeitabstand Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) beliebig klein wird (es ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92)), sollte die Folge der Durchschnittsgeschwindigkeiten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93) gleich der momentanen Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94) sein.

Damit haben wir eine Methode gefunden, um die momentane Änderungsrate von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) zu bestimmen: Wir nehmen eine beliebige Folge von Argumenten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97), die alle verschieden von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98) sind und für die Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99) ist. Für jedes Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100) bestimmen wir den Quotienten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101). Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert dieser Quotienten:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102)

Für die Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104) schreiben wir Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105). Damit können wir notieren:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106)

Der dabei auftretende Grenzwert der Differenzenquotienten wird Differentialquotient genannt.

Konkretisierung[Bearbeiten]

Nun haben wir in unserem Beispiel stets Zeitpunkte in der Zukunft von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107) betrachtet. Was passiert, wenn wir einen Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108) in der Vergangenheit von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109) betrachten? Hier erhalten wir folgendes Bild:

Die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitraum von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) bis Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112) ist dann gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113). Wenn wir diesen Quotienten um Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) erweitern, erhalten wir:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115)

Wir erhalten denselben Term wie im vorherigen Abschnitt. Dieser gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit an, egal ob Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116) oder Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117) ist. Damit sollte dessen Wert im Fall Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118) auch nah an der momentanen Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119) liegen, wenn Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) nur hinreichend nah an Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121) liegt. Es ist also

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122)

wobei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) eine beliebige Folge von Argumenten ungleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125) ist. Die Folgenglieder von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126) können dabei je nach Index Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) manchmal größer und manchmal kleiner als Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) sein:

Verfeinerung der Definition[Bearbeiten]

Sei nun Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130) eine beliebige reellwertige Funktion und sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131). Wie wir im obigen Abschnitt gesehen haben, ist

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132)

wobei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) eine Folge von Argumenten ungleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134) ist, die gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) konvergiert. Damit es mindestens eine solche Folge von Argumenten gibt, muss Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136) ein Häufungspunkt vom Definitionsbereich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) sein (eine Zahl ist genau dann Häufungspunkt einer Menge, wenn es eine Folge in dieser Menge ungleich dieser Zahl gibt, die gegen diese Zahl konvergiert). Das hört sich jetzt vielleicht komplizierter an, als es häufig ist. In den meisten Fällen ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138) ein Intervall und dann ist jedes Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139) ein Häufungspunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140). Für die Definition des Differentialquotienten soll es egal sein, welche Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) wir wählen. Dementsprechend können wir die Ableitung definieren:

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) und sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144) ein Häufungspunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145). Die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146) ist an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147) ableitbar mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148), wenn für jede Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149) von Argumenten ungleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) und mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151) gilt:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152)

Nun können wir diese Definition abkürzen, indem wir die Grenzwertdefinition für Funktionen benutzen. Zur Erinnerung: Es ist nach Definition genau dann Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153), wenn Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) für alle Folgen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) von Argumenten ungleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) ist. Also:

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159) und sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) ein Häufungspunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161). Die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162) ist an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163) ableitbar mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164), wenn gilt:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165)

Die h-Methode[Bearbeiten]

Es gibt eine weitere Möglichkeit, die Ableitung zu definieren. Hierzu gehen wir vom Differentialquotienten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168) aus und führen die Variablenersetzung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169) durch. Die neue Variable Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170) ist also der Unterschied zwischen der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171), bei der die Ableitung bestimmt werden soll, zu dem Punkt, wo der Differenzenquotient gebildet wird. Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172) geht Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173). Damit können wir die Ableitung auch definieren als

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175) und sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176) ein Häufungspunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177). Die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178) ist an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179) ableitbar mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180), wenn gilt:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181)

Anwendungen in den Naturwissenschaften[Bearbeiten]

Die Ableitung haben wir als momentane Änderungsrate einer Größe kennengelernt. Als solche tritt sie in den Naturwissenschaften häufig auf. Folgende Größen sind beispielsweise als Änderungsraten definiert:

  • Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderungsrate des zurückgelegten Wegs eines Objekts.
  • Beschleunigung: Die Beschleunigung ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit eines Objekts.
  • Druckänderung: Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182) der Luftdruck in der Höhe Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183). Die Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184) ist die Änderungsrate des Luftdrucks mit der Höhe. Dieses Beispiel zeigt, dass die Änderungsrate nicht immer auf die Zeit bezogen sein muss. Es kann auch die Änderungsrate bezüglich einer anderen Größe, wie zum Beispiel der Höhe, sein.
  • Chemische Reaktionsrate: Betrachten wir eine chemische Reaktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (185). Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (186) die Konzentration des Stoffs Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187) zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188). Die Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189) ist die momentane Änderungsrate der Stoffkonzentration von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190) und damit gibt sie an, wie viel des Stoffs Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (191) in den Stoff Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (192) umgesetzt wird. Damit gibt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (193) die chemische Reaktionsrate für die Reaktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194) an.
  • Änderung der Population: Oft betrachtet man die Anzahl an Individuen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195) in einer Population (zum Beispiel die Anzahl an Menschen auf dem Planeten, die Anzahl an Bakterien in einer Petrischale, die Anzahl an Tieren einer Gattung oder die Anzahl der Atome eines radioaktiven Stoffs). Die Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196) gibt die momentane Änderungsrate der Individuen zum Zeitpunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197) wieder.

Definitionen[Bearbeiten]

Ableitung und Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Definition(Ableitung)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199) und sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (200) ein Häufungspunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201). Die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202) ist an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203) ableitbar mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204), wenn gilt:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (205)

Äquivalent kann in der Definition auch gefordert werden:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (206)

Eine an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (207) ableitbare Funktion nennt man an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208) differenzierbar. Eine Funktion heißt ableitbar oder differenzierbar, wenn an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs der obige Grenzwert existiert. Differenzierbare Funktionen sind also überall, wo sie definiert sind, differenzierbar.

Differenzenquotient und Differentialquotient[Bearbeiten]

Die Begriffe „Differenzenquotient“ und „Differentialquotient“ sind folgendermaßen definiert:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212)

Es gelten also folgende Definitionen:

Definition(Differenzenquotient)

Der Differenzenquotient einer Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214) im Intervall Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215) ist der Quotient

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (216)

Dieser Quotient entspricht der Steigung der Sekanten zwischen den Punkten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (217) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218).

Definition(Differentialquotient)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220). Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221) ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222). Der Differentialquotient dieser Funktion an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223) ist der Grenzwert:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (224)

Wenn dieser Grenzwert existiert und eine reelle Zahl ist, entspricht er der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (225).

Ableitungsfunktion[Bearbeiten]

Ist eine Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (230) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (231) an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar, so besitzt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (232) an jedem Punkt in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (233) eine Ableitung. Die Funktion, die jedem Argument Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (234) ihre Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (235) zuordnet, heißt Ableitungsfunktion von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (236):

Definition(Ableitungsfunktion)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (237) eine differenzierbare Funktion mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (238). Wir definieren die Ableitungsfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (239) durch

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (240)

Ist die Ableitungsfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (241) zusätzlich noch stetig, so nennt man Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (242) stetig differenzierbar.

Warnung

Die Begriffe „stetig differenzierbar“ und „differenzierbar“ sind nicht äquivalent. Die Stetigkeit der Ableitungsfunktion ist eine echte zusätzliche Forderung.

Notationen[Bearbeiten]

Geschichtlich bedingt wurden unterschiedliche Notationen entwickelt, um die Ableitung einer Funktion darzustellen. In diesem Artikel haben wir bisher nur die Notation Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (243) für die Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (244) kennengelernt. Sie geht auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der sie 1797 einführte[1]. Mit dieser Notation wird die zweite Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (245) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (246) und die Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (247)-te Ableitung mittels Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (248) notiert.

Isaac Newton - neben Leibniz der Begründer der Differentialrechnung - notierte die erste Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (249) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (250), entsprechend notierte er die zweite Ableitung durch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (251). Heutzutage wird diese Schreibweise hauptsächlich in der Physik für die Ableitung nach der Zeit verwendet.

Gottfried Wilhelm Leibniz führt für die erste Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (252) nach der Variablen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (253) die Notation Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (254) ein. Gelesen wird diese Schreibweise als „d f von x nach d x“. Für die zweite Ableitung notierte Leibniz Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (255) und die Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (256)-te Ableitung wird mittels Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (257) notiert.

Bei den Schreibweisen von Leibniz handelt es sich nicht um einen Bruch! Die Symbole Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (258) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (259) werden als Differentiale bezeichnet, welche aber in der modernen Analysis (abgesehen von der Theorie der sogenannten „Differentialformen“) lediglich eine symbolische Bedeutung haben. Sie sind nur in dieser Schreibweise als formaler Differentialquotient erlaubt. Nun gibt es Anwendungen der Ableitung (wie zum Beispiel die „Kettenregel“ oder „Integration durch Substitution“), in denen man mit den Differentialen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (260) beziehungsweise Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (261) so umgehen kann, als seien sie gewöhnliche Variablen und in denen man so zu richtigen Lösungen kommt. Da es aber in der modernen Analysis keine Differentiale gibt, handelt es sich bei solchen Rechnungen nicht um formal richtige Argumentationen.

Die Notation Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (262) oder Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (263) für die erste Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (264) geht auf Leonhard Euler zurück. In dieser Notation wird die zweite Ableitung durch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (265) oder Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (266) und die Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (267)-te Ableitung durch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (268) oder Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (269) geschrieben.

Übersicht zu allen Notationen[Bearbeiten]

Schreibweise von …1. Ableitung2. AbleitungAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (270)-te Ableitung
LagrangeAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (271)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (272)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (273)
NewtonAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (274)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (275)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (276)
LeibnizAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (277)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (278)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (279)
EulerAbleitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (280)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (281)Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (282)

Ableitung als Tangentensteigung[Bearbeiten]

Die Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (289) entspricht dem Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (290). Dabei ist der Differenzenquotient Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (291) die Steigung der Sekante zwischen den Punkten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (292) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (293). Bei der Grenzwertbildung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (294) geht diese Sekante in die Tangente über, die den Graphen von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (295) im Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (296) berührt:

Damit ist die Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (298) gleich der Steigung der Tangente am Graphen durch den Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (299). Die Ableitung kann also genutzt werden, um die Tangente an einem Graphen zu bestimmen. Somit löst sie auch ein geometrisches Problem. Mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (300) kennen wir die Steigung der Tangente und mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (301) einen Punkt auf der Tangente. Damit können wir die Funktionsgleichung dieser Tangente bestimmen.

Verständnisfrage: Wie lautet die Tangentengleichung, wenn ihre Steigung gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (302) und sie durch den Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (303) geht?

Die allgemeine Formel einer linearen Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (304) ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (305). Dabei ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (306) die Steigung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (307) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (308) ist der Schnittpunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (309) mit der y-Achse. Sei nun Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (310) die gesuchte Tangente. Diese besitzt die Steigung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (311) und damit gilt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (312).

Wir müssen noch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (313) bestimmen. Weil Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (314) durch den Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (315) geht, ist

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (316)

Damit ist

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (317)

Durch Kenntnis der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (318) kann also die Tangengleichung bestimmt werden.

Ableitung als Steigung der lokal besten linearen Approximation[Bearbeiten]

Approximation einer differenzierbaren Funktion[Bearbeiten]

Die Ableitung kann auch zur Approximation einer Funktion genutzt werden. Um diese Approximation zu finden gehen wir von der Grenzwertdefinition der Ableitung aus:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (319)

Der Differenzenquotient Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (320) liegt also beliebig nah an der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (321), wenn Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (322) hinreichend nah an Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (323) ist. Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (324) können wir schreiben:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (325)

Im Folgenden nehmen wir an, dass der Ausdruck Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (326) für „Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (327) ist ungefähr so groß wie Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (328)“ wohldefiniert ist und den üblichen Rechengesetzen für Gleichungen gehorcht. Damit können wir diese Gleichung umstellen zu

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (329)

Wenn Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (330) hinreichend nah an Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (331) liegt, dann ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (332) ungefähr gleich dem Wert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (333). Dieser Wert kann somit in der Nähe der Ableitungsstelle als Approximation von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (334) verwendet werden. Dabei ist die Funktion mit der Zuordnungsvorschrift Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (335) eine lineare Funktion, da Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (336) ein beliebiger aber fester Punkt ist.

Die Zuordnungsvorschrift Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (337) beschreibt dabei die Tangente, die den Funktionsgraphen an der Stelle der Ableitung berührt. Die Tangente ist also in der Nähe des Berührungspunkts eine gute Approximation des Funktionsgraphen. Dies zeigt auch das folgende Diagramm. Wenn man in einer differenzierbaren Funktion an einer Stelle nah genug reinzoomt, so sieht der Funktionsgraph näherungsweise wie eine Gerade aus:

Diese Gerade wird durch die Zuordnungsvorschrift Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (339) beschrieben und entspricht der Tangente des Graphen an dieser Stelle.

Beispiel: Kleinwinkelnäherung des Sinus[Bearbeiten]

Schauen wir uns das gerade Besprochene an einem Beispiel an. Hierfür betrachten wir die, für gewöhnlich aus der Schule bekannte, Sinusfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (340). Ihr Graph ist

Wie wir noch sehen werden, ist die Ableitung des Sinus der Kosinus und damit ist

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (342)

Nach dem Abschnitt zur Approximation gilt damit

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (343)

In der Nähe der Null ist also Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (344). Dies ist die sogenannte Kleinwinkelnäherung. So kann Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (345) durch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (346) angenähert werden. Mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (347) ist diese Annäherung auch recht gut. Im folgenden Diagramm sieht man, dass in der Nähe des Nullpunkts die Sinusfunktion ungefähr durch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (348) beschrieben werden kann:

Das Diagramm zeigt aber auch, dass diese Approximation nur in der Nähe der Ableitungstelle gut ist. Bei Werten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (350) weit weg von der Null unterscheidet sich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (351) stark von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (352). Die Approximation Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (353) ist folglich nicht immer sinnvoll.

Qualität der Approximation[Bearbeiten]

Wie gut ist die Approximation Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (354)? Um dies zu beantworten, sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (355) derjenige Wert mit

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (356)

Der Wert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (357) ist damit der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (358) und der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (359). Dieser Unterschied verschwindet für den Grenzübergang Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (360), weil für diesen Grenzübergang der Differenzenquotient in den Differentialquotienten, also der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (361), übergeht. Es gilt also Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (362). Nun können wir die obige Gleichung umstellen und erhalten so

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (363)

Der Fehler zwischen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (364) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (365) ist damit gleich dem Term Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (366). Wegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (367) ist auch

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (368)

Der Fehler Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (369) verschwindet also für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (370). Wir können aber noch mehr sagen: Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (371) fällt schneller als ein linearer Term gegen Null ab. Selbst wenn wir Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (372) durch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (373) teilen und so diesen Term in der Nähe von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (374) stark vergrößern, verschwindet Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (375) für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (376). Es ist nämlich

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (377)

Der Fehler Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (378) in der Approximation Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (379) fällt also für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (380) schneller als linear gegen Null ab. Fassen wir die bisherige Argumentation in einem Satz zusammen:

Satz(Approximation einer differenzierbaren Funktion)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (381) und sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (382) ein Häufungspunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (383). Sei außerdem Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (384) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (385) differenzierbar mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (386). Seien Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (387) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (388) so definiert, dass für alle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (389) gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (390)

Dann verschwindet der Fehlerterm Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (391) für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (392), das heißt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (393). Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (394) gilt dementsprechend Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (395).

Alternative Definition der Ableitung[Bearbeiten]

Dass differenzierbare Funktionen durch lineare Funktionen approximiert werden können, charakterisiert den Begriff der Ableitung. Jede Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (396) ist an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (397) ableitbar, wenn eine reelle Zahl Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (398) sowie eine Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (399) existieren, so dass Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (400) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (401) gelten. Ihre Ableitung ist dann Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (402). Es gilt nämlich

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (403)

Somit können wir die Ableitung auch wie folgt definieren:

Definition(Alternative Definition der Ableitung)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (404) eine Funktion und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (405) ein Häufungspunkt von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (406). Die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (407) ist genau dann im Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (408) differenzierbar mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (409), wenn eine Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (410) existiert, so dass

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (411)

und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (412) gelten.

Beschreibung der Ableitung über stetige Funktion [Bearbeiten]

Es gibt eine weitere Charakterisierung der Ableitung. Wir beginnen hierfür mit der Formel

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (413)

Dabei ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (414) der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und der Ableitung, welcher für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (415) verschwindet. Wenn wir diese Formel umstellen erhalten wir:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (416)

Dabei erfüllt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (417) für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (418) die Eigenschaft

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (419)

Damit kann Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (420) in eine an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (421) stetige Funktion erweitert werden, wobei der Funktionswert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (422) gewählt wird. Diese Darstellung einer ableitbaren Funktion ermöglicht eine weitere Charakterisierung stetiger Funktionen:

Satz(Äquivalente Charakterisierung der Ableitung)

Eine Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (423) ist in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (424) genau dann differenzierbar, wenn es eine in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (425) stetige Abbildung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (426) gibt, die folgende Gleichung erfüllt:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (427)

In diesem Fall ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (428).

Beweis(Äquivalente Charakterisierung der Ableitung)

Beweisschritt: Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (429) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (430) Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (431) Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (432) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (433)

Gelte also Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (434), wobei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (435) eine Funktion mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (436) sei. Nun gilt für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (437)

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (438)

Setzen wir nun Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (439). So folgt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (440)

Also ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (441) stetig (fortsetzbar) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (442) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (443).

Beweisschritt: Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (444) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (445) Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (446) Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (447) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (448)

Gelte nun Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (449) mit einer in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (450) stetigen Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (451), wobei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (452). Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (453) gilt dann

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (454)

Setzen wir nun Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (455). So folgt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (456)

Ableitung als verallgemeinerte Steigung[Bearbeiten]

Die Steigung ist zunächst nur für lineare Funktionen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (459) mit der Zuordnungsvorschrift Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (460) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (461) definiert. Bei solchen Funktionen ist die Steigung gleich dem Wert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (462) und kann über den Differenzenquotienten berechnet werden. Für zwei verschiedene Argumente Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (463) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (464) aus dem Definitionsbereich von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (465) gilt nämlich

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (466)

Nun ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (467) auch die Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (468) an jedem Häufungspunkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (469) des Definitionsbereichs:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (470)

Die Ableitung linearer Funktionen ist daher stets gleich ihrer Steigung. Der Begriff der Ableitung stimmt also bei linearen Funktionen mit jenem der Steigung überein. Außerdem ist er bei allen differenzierbaren Funktionen definiert. Somit stellt die Ableitung eine Verallgemeinerung der Steigung dar. Zur Erinnerung: Ein Begriff Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (471) ist genau dann eine Verallgemeinerung eines anderen Begriffs Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (472), wenn Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (473) überall dort mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (474) übereinstimmt, wo Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (475) definiert ist und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (476) auf weitere Fälle angewandt werden kann.

Somit können wir die Ableitung als momentane Steigung einer Funktion ansehen. Der Steigungsbegriff geht damit von einer globalen Eigenschaft (die Steigung bei linearen Funktionen ist für die gesamte Funktion definiert), in eine lokale Eigenschaft über (die Ableitung ist die momentane Änderungsrate einer Funktion).

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel einer differenzierbaren Funktion[Bearbeiten]

Beispiel(Quadratfunktion ist an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (480) ableitbar)

Die Quadratfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (481) ist ableitbar an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (482) mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (483). Dieses Resultat erhalten wir, wenn wir den Differentialquotienten an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (484) auswerten:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (485)

Der letzte Ausdruck zeigt, dass der Differenzenquotient gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (486) für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (487) ist (für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (488) ist der Differenzenquotient nicht definiert, weil sonst durch Null geteilt wird). Nun müssen wir den Grenzwert von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (489) für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (490) bestimmen:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (491)

Damit ist die Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (492) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (493) gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (494), also Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (495). Analog können wir die Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (496) an einer beliebigen Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (497) bestimmen:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (498)

Damit ist die Ableitung der Quadratfunktion an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (499) gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (500). Die Ableitungsfunktion von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (501) ist damit die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (502).

Beispiel einer nicht differenzierbaren Funktion[Bearbeiten]

Beispiel(Betragsfunktion ist nicht differenzierbar)

Wir betrachten die Betragsfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (505) und prüfen, ob sie an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (506) ableitbar ist. Hier wählen wir die Folgen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (507), Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (508) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (509) mit

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (510)

Diese konvergieren alle gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (511). Nun betrachten wir die Differentialquotienten zu den einzelnen Folgen. Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (512) ergibt sich:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (513)

Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (514) bekommen wir:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (515)

Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (516) gilt:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (517)

Dieser Grenzwert für die Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (518) existiert nicht. Wir sehen daher, dass je nach gewählter Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (519) der Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (520) unterschiedlich ist oder nicht existiert. Damit existiert nach Definition auch nicht der Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (521), womit die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (522) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (523) nicht ableitbar ist. Die Betragsfunktion besitzt am Nullpunkt keine Ableitung.

Links- und rechtsseitige Ableitung[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Die Ableitung einer Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (524) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (525) für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (526). Der Differenzenquotient kann dabei als eine Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (527) aufgefasst werden, die für alle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (528) außer für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (529) definiert ist. Damit handelt es sich beim Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (530) um einen Grenzwert einer Funktion.

Die Begriffe „linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert“ können auch für den Differenzenquotienten betrachtet werden. So erhalten wir die Begriffe „linksseitige“ beziehungsweise „rechtsseitige“ Ableitung. Bei der linksseitigen Ableitung werden nur Sekanten links von der betrachteten Stelle evaluiert. Es werden also nur Differenzenquotienten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (531) betrachtet, bei der Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (532) ist. Dann wird überprüft, ob diese Differenzenquotienten für den Grenzübergang Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (533) gegen eine Zahl konvergieren. Wenn ja, dann ist diese Zahl der linksseitige Grenzwert. Also:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (534)

Dabei ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (535) die Schreibweise für die linksseitige Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (536) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (537). Damit dieser Grenzwert Sinn ergibt, muss es mindestens eine Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (538) von Argumenten geben, die von links gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (539) konvergiert. Es muss also Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (540) ein Häufungspunkt der Menge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (541) sein.

Definition(Linksseitige Ableitung)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (542) eine Funktion und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (543) ein Häufungspunkt der Menge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (544). Die Zahl Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (545) ist die linksseitige Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (546) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (547), wenn gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (548)

Dies ist äquivalent dazu, dass für alle Folgen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (549) aus Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (550) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (551) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (552) sowie Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (553) gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (554)

Auf analoge Weise kann die rechtsseitige Ableitung folgendermaßen definiert werden:

Definition(Rechtsseitige Ableitung)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (555) eine Funktion und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (556) ein Häufungspunkt der Menge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (557). Die Zahl Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (558) ist die rechtsseitige Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (559) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (560), wenn gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (561)

Dies ist äquivalent dazu, dass für alle Folgen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (562) aus Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (563) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (564) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (565) sowie Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (566) gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (567)

Funktionen besitzen an einer Stelle in ihrem Definitionsbereich nur dann einen Grenzwert, wenn sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle existieren und beide Grenzwerte übereinstimmen. Diesen Satz können wir direkt auf Ableitungen anwenden:

Eine Funktion ist an einer Stelle in ihrem Definitionsbereich genau dann ableitbar, wenn dort sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung existieren und beide Ableitungen übereinstimmen.

Beispiel[Bearbeiten]

Wir haben bereits gezeigt, dass die Betragsfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (568) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (569) nicht differenzierbar ist. Jedoch können wir zeigen, dass die rechtsseitige Ableitung an dieser Stelle existiert und gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (570) ist:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (571)

Analog können wir zeigen, dass die linksseitige Ableitung an derselben Stelle gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (572) ist:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (573)

Weil die rechtsseitige und die linksseitige Ableitung nicht übereinstimmen, ist die Betragsfunktion an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (574) nicht ableitbar. Sie besitzt dort zwar links- und rechtsseitige Ableitungen, aber keine Ableitung.

Differenzierbare Funktionen sind knickfrei[Bearbeiten]

Im obigen Beispiel haben wir gesehen, dass die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist. Dies liegt daran, dass die Betragsfunktion an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (575) „einen Knick hat“, so dass die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden ist. Wenn wir von links an Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (576) gehen, ist die Ableitung gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (577), während die Ableitung von der rechten Seite aus gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (578) ist. Der Knick in der Betragsfunktion verhindert also die Differenzierbarkeit.

Wenn also eine Funktion einen Knick besitzt, ist sie an dieser Stelle nicht ableitbar. Sprich: Ableitbare Funktionen sind knickfrei. Man nennt sie deswegen auch glatte Funktionen. Dies heißt aber nicht, dass knickfreie Funktionen automatisch ableitbar sind. Betrachten wir als Gegenbeispiel die Vorzeichenfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (579) mit der Definition

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (580)

Ihr Graph ist

Diese ist an der Nullstelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (582) nicht ableitbar, da dort wegen dem Sprung in der Funktion der Differenzenquotient gegen Unendlich konvergiert. Für die rechtsseitige Ableitung gilt beispielsweise:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (583)

Auch besitzt die Vorzeichenfunktion an der Nullstelle keinen Knick. Schließlich macht die Funktion dort einen Sprung und es wäre daher sinnlos dort von einem „Knick in der Funktion“ zu sprechen. Hierzu müsste die Funktion an der betrachteten Stelle stetig sein.

Am Beispiel der Vorzeichenfunktion sehen wir, dass Knickfreiheit und Ableitbarkeit nicht dasselbe sein kann. Knickfreiheit ist allerdings eine Voraussetzung für Ableitbarkeit. Folglich sind ableitbare Funktionen glatt (=knickfrei).

Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit, Stetigkeit und stetiger Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Stetige Differenzierbarkeit einer Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (584) impliziert ihre Differenzierbarkeit, woraus wiederum ihre Stetigkeit folgt. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht, wie wir im Laufe dieses Abschnitts sehen werden:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (585)

Die erste Implikation folgt direkt aus der Definition: Eine Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (586) heißt genau dann stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (587) stetig ist. Damit sind stetig differenzierbare Funktionen auch differenzierbar. Die zweite Implikation zeigen wir im Folgenden.

Jede differenzierbare Funktion ist stetig[Bearbeiten]

Wir zeigen nun, dass jede an einer Stelle differenzierbare Funktion an dieser Stelle auch stetig ist. Damit ist Differenzierbarkeit eine stärkere Forderung an eine Funktion als Stetigkeit:

Satz

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (588) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (589) eine Funktion, die an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (590) differenzierbar ist. Dann ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (591) im Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (592) stetig. Damit gilt auch: Jede differenzierbare Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (593) ist stetig.

Beweis

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (594) eine beliebige Folge in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (595), die gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (596) konvergiert. Da Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (597) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (598) differenzierbar ist, gibt es eine Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (599) mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (600), so dass für alle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (601) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (602) gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (603)

Wir haben uns bereits überlegt, dass dann auch Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (604) gilt. Wegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (605) muss also Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (606) gelten. Insgesamt erhalten wir somit:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (607)

Den Limes durften wir hier auseinanderziehen, da die Grenzwerte Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (608), Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (609) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (610) existieren. Nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit gilt wegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (611), dass Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (612) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (613) stetig ist.

Alternativer Beweis

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (614) eine Folge aus Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (615), die gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (616) konvergiert und deren Folgenglieder ungleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (617) sind. Es ist also Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (618) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (619) für alle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (620). Da Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (621) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (622) differenzierbar ist, gilt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (623). Die Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (624) im Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (625) ist eine reelle Zahl. Dann gilt:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (626)

Den Limes durften wir hier auseinanderziehen, da die Grenzwerte Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (627) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (628) existieren. Damit ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (629) solange die Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (630) maximal endlich oft den Wert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (631) aufweist und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (632) geht.

Sei nun Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (633) eine beliebige Folge aus Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (634), die gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (635) konvergiert und deren Folgenglieder unendlich oft gleich dem Wert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (636) sind. Nun haben wir gezeigt, dass der Grenzwert der Teilfolge von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (637) mit Folgenglieder ungleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (638) gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (639) ist. Auch die Teilfolge von Folgeglieder gleich Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (640) konvergiert als konstante Folge gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (641). Somit kann man die Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (642) in zwei Teilfolgen zerlegen, die beide gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (643) konvergieren. Insgesamt ergibt sich so Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (644).

Für jede Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (645) aus Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (646), die gegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (647) konvergiert, ist somit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (648). Nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit gilt dann, dass Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (649) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (650) stetig ist.

Anwendung: Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar[Bearbeiten]

Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir, dass jede differenzierbare Abbildung stetig ist. Also:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (651)

Wenn wir auf diese Implikation das Prinzip der Kontraposition anwenden, dann folgt: Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (652)

Beispiel: Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar[Bearbeiten]

Nehmen wir als Beispiel die Vorzeichenfunktion

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (653)

Diese ist im Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (654) nicht stetig. Also ist sie dort auch nicht differenzierbar. Nehmen wir die Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (655). Diese konvergiert gegen Null. Wenn die Vorzeichenfunktion differenzierbar wäre, dann müsste der Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (656) existieren. Jedoch ist

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (657)

Der Grenzwert existiert nicht in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (658). Damit ist die Vorzeichenfunktion – wie erwartet – nicht differenzierbar im Punkt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (659).

Nicht jede differenzierbare Funktion ist stetig differenzierbar[Bearbeiten]

Im folgenden Beispiel greifen wir Kenntnisse über Ableitungsregeln vor, die wir erst im nächsten Kapitel ausführlicher behandeln werden. Da jene allerdings meist schon aus der Schule bekannt sind, führen wir das Beispiel bereits jetzt vor:

Beispiel(Beispiel einer differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren Funktion)

Wir werden zeigen, dass folgende Funktion überall differenzierbar ist, aber die Ableitungsfunktion nicht an jedem Punkt stetig ist:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (660)

Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (661) ist die Funktion nach der Produkt- und Kettenregel in jedem Punkt unendlich oft stetig differenzierbar. Wir werden nun die Differenzierbarkeit an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (662) betrachten. Es gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (663)

Also ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (664) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (665) differenzierbar mit dem Ableitungswert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (666). Jedoch ist die Ableitungsfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (667) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (668) nicht stetig. Um dies zu zeigen, müssen wir die Ableitungsfunktion ermitteln. Für Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (669) folgt aus der Produkt- und Kettenregel:

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (670)

Zusammen mit dem Ableitungswert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (671) erhalten wir somit die Ableitungsfunktion

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (672)

Um die Unstetigkeit von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (673) bei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (674) zu zeigen, verwenden wir die Folgendefinition von Stetigkeit. Sei dazu Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (675) die Folge mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (676). Es gilt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (677). Wenn Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (678) stetig wäre, müsste nach dem Folgenkriterium Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (679) gelten. Nun ist aber

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (680)

Der Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (681) existiert nicht, denn die Folge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (682) besitzt die beiden Häufungspunkte Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (683) und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (684). Damit folgt, dass Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (685) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (686) nicht stetig ist. Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (687) ist somit zwar differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Hyperbelfunktion[Bearbeiten]

Aufgabe(Hyperbelfunktion ist an der Stelle 2 ableitbar)

Zeige, dass die Hyperbelfunktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (688) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (689) differenzierbar ist, und berechne dort die Ableitung. Wie lautet die Ableitung von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (690) an einer beliebigen Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (691)?

Lösung(Hyperbelfunktion ist an der Stelle 2 ableitbar)

Hier lautet der Differentialquotient an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (692):

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (693)

Also ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (694) an der Stelle Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (695) mit der Ableitung Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (696) differenzierbar. Für ein allgemeines Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (697) gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (698)

Wurzelfunktion[Bearbeiten]

Aufgabe(Wurzelfunktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar)

Zeige, dass die Wurzelfunktion

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (699)

in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (700) nicht differenzierbar ist.

Lösung(Wurzelfunktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar)

Wir müssen zeigen, dass der Differentialquotient von Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (701) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (702) nicht existiert. Dieser lautet

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (703)

Wir wählen die positive Nullfolge Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (704). Für diese gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (705)

Damit existiert kein Grenzwert des Differentialquotienten Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (706). Die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (707) ist daher in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (708) nicht differenzierbar.

Bestimmung von Grenzwerten[Bearbeiten]

Aufgabe(Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (709) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (710) differenzierbar. Zeige die folgenden Grenzwerte

  1. Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (711)
  2. Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (712)
  3. Gilt auch die umgekehrte Aussage zum Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (713): Existiert der Grenzwert Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (714), so ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (715) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (716) differenzierbar, und Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (717) ist gleich diesem Grenzwert.

Lösung(Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)

Lösung Teilaufgabe 1:

Da Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (718) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (719) differenzierbar ist, gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (720)

Substituieren wir Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (721), so gilt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (722). Damit gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (723)

Lösung Teilaufgabe 2:

Hier gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (724)

Lösung Teilaufgabe 3:

Die Umkehrung ist falsch. Wir betrachten dazu die Funktion Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (725) in Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (726). Für diese existiert der Grenzwert

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (727)

Die Betragsfunktion ist jedoch an der Stelle Null nicht differenzierbar.

Kriterium für Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Aufgabe(Kriterium für Differenzierbarkeit einer allgemeinen Funktion in Null)

Sei Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (728). Zeige: Gilt Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (729) für ein Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (730), so ist Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (731) in Null differenzierbar mit Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (732).

Lösung(Kriterium für Differenzierbarkeit einer allgemeinen Funktion in Null)

Es gilt

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (733)

Damit ist dann wegen Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (734)

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (735)

Mit dem Einschnürungssatz folgt daher

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (736)

Einzelnachweise

  1. Differentialrechnung. In: Lexikon der Mathematik. 1Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg, ISBN 3-8274-0439-8.

Quellen

Folgende Quellen wurden als Basis für diesen Artikel verwendet:

  • Abschnitt Notationen des Wikipedia-Artikels „Differentialrechnungen“, abgerufen am 7. August 2016. Autorinnen und Autoren dieses Abschnitts sind unter anderem Benutzer:Christian1985, Benutzer:Roomsixhu, Benutzer:FranzR, Benutzer:DerSpezialist und Benutzer:SaltzGurke. Dieser Abschnitt steht unter einer CC-BY-SA 3.0 Lizenz.
  • Abschnitt Example des Wikipedia-Artikels Derivative, abgerufen am 14.08.2016. Dieser Abschnitt steht unter einer CC-BY-SA 3.0 Lizenz.
  • Greefrath, G., Oldenburg, R., Siller, H. S., Ulm, V., & Weigand, H. G. (2016). Aspects and “Grundvorstellungen” of the Concepts of Derivative and Integral. Journal für Mathematik-Didaktik, 37(1), 99-129.

Ableitungsregeln

Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (737)

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Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (741)

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Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)
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