Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

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Im folgenden Artikel werden wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion in einem Punkt differenzierbar ist. Außerdem werden wir eine Formel herleiten, mit der wir die Ableitung der Umkehrfunktion explizit bestimmen können. Das praktische an dieser ist, dass wir damit die Ableitung an bestimmten Punkten bestimmen können, selbst wenn wir die Umkehrfunktion nicht explizit kennen.

Motivation[Bearbeiten]

Betrachten wir zunächst als Beispiel eine lineare Funktion. Für diese ist es sehr einfach, die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen. Nicht-konstante lineare Funktionen sind nämlich auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34) bijektiv und damit umkehrbar. In diesem Fall können wir die Umkehrfunktion explizit berechnen und danach ableiten. Konkret wählen wir Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35) mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36). Die Umkehrfunktion lautet

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37)

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38) ist auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39) differenzierbar und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40) für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41).

Betrachten wir als nächstes die Funktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42). Hier müssen wir zunächst aufpassen, da sie nicht auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43) injektiv, und damit nicht umkehrbar ist. Schränken wir den Definitions- und Wertebereich jedoch auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44) ein, so ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45) bijektiv. Die Umkehrfunktion ist die Quadratwurzelfunktion

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46)

Bei der Differenzierbarkeit müssen wir eine weitere Sache beachten: Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) ist in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) nicht differenzierbar. Dies können wir mit Hilfe des Differentialquotienten, oder auch durch die folgende Überlegung zeigen:

Da die Wurzelfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) die Umkehrfunktion der Quadratfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50) ist, gilt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51). In null gilt damit insbesondere

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52)

Wäre nun Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) in null differenzierbar, würde mit der Kettenregel

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54)

gelten. Also kann Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55) in null nicht differenzierbar sein. Auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57) hingegen differenzierbar, und es gilt

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58)

Dieses Beispiel zeigt also, dass es vorkommen kann, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59) nicht auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, obwohl Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) überall differenzierbar war. Konkret liegt das daran, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61) ist, wie wir später sehen werden.

In den beiden Beispielen war es also relativ einfach die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen. Wie sieht es aber mit komplizierteren Funktionen, zum Beispiel Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) als Umkehrfunktion von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) aus? Hier können wir nicht so einfach die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen. Oder was passiert, wenn sich eine bijektive Funktion gar nicht explizit umkehren lässt? Gibt es dann dennoch eine Möglichkeit die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen? In diesen Fällen wäre es natürlich gut, wenn wir eine allgemeine Formel hätten, mit der wir die Ableitung von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64) aus der Ableitung von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65) bestimmen könnten. Wenn wir uns die Ableitung aus dem zweiten Beispiel nochmal ansehen, dann fällt Folgendes auf:

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66)

Da Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67) für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69) für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70) ist. Sehen wir uns das erste Beispiel nochmal an, so gilt dort ebenfalls

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71)

Die Frage ist nun, ob dies Zufall ist, oder ob diese Formel unter gewissen Voraussetzungen auch allgemein gilt? Setzen wir voraus, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) differenzierbar ist, dann können wir uns die Formel allgemein herleiten. Dazu verwenden wir denselben Ansatz, den wir oben für die Nicht-Differenzierbarkeit der Quadratwurzelfunktion in null verwendet haben: Für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) gilt

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77)

Leiten wir nun auf beiden Seiten an der Stelle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) ab, so gilt nach der Kettenregel

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79)

Hierbei haben wir verwendet, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83) differenzierbar sind. Nun dividieren wir noch auf beiden Seiten durch Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84) (geht natürlich nur, wenn der Ausdruck ungleich null ist), und erhalten

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85)

beziehungsweise

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86)

Die Formel gilt also unter diesen Voraussetzungen auch allgemein. Die Frage ist nun noch, unter welchen Bedingungen an Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87) die Ableitung von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88) sicher existiert.

  • Zum einen muss die Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89) existieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90) bijektiv ist, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) surjektiv und streng monoton ist.
  • Wie wir oben gesehen haben muss Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92) im Punkt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93) differenzierbar sein mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94).
  • Wir werden sehen, dass wir noch eine weitere Voraussetzung benötigen, nämlich dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) stetig ist. Ist der Definitionsbereich Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97) von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98) ein Intervall, so ist dies nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion immer erfüllt.

Unter genau diesen Voraussetzungen werden wir einen Satz formulieren und beweisen. Anschließend untersuchen wir noch ein paar Beispiele.

Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion [Bearbeiten]

Satz und Beweis[Bearbeiten]

Satz(Ableitung der Umkehrfunktion)

Seien Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100) ein Intervall. Weiter sei Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101) eine surjektive, streng monotone Funktion, die in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102) differenzierbar ist mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103). Dann hat Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104) eine Umkehrfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105), die in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106) differenzierbar ist, und es gilt:

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107)

Anmerkungen:

  • Die Surjektivität von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108) ist gleichwertig mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109).
  • Ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110) auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) differenzierbar, so lässt sich nach dem Monotoniekriterium die strenge Monotonie am einfachsten duch Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112) beziehungsweise Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) überprüfen.
  • Wie wir an der Ableitung der Quadratwurzelfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115) oben gesehen haben, darf die Voraussetzung Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116) auf keinen Fall weggelassen werden.
  • Der Satz gilt auch noch etwas allgemeiner, falls Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117) kein Intervall ist. Dann muss aber zusätzlich gefordert werden, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119) stetig ist. Außerdem müssen Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) beziehungsweise Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121) Häufungspunkte von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122) beziehungsweise Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) sein.
  • Ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124) zusätzlich noch stetig, so folgt, nach dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125) ein Intervall ist.

Zusammenfassung des Beweises(Ableitung der Umkehrfunktion)

Zunächst begründen wir, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126) existiert. Anschließend folgern wir mit Hilfe des Satzes über die Stetigkeit der Umkehrfunktion, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) stetig ist. Danach zeigen wir, dass der Differentialquotient Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) existiert, und den Wert Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) hat. Das heißt, dass für jede Folge Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130) mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) gilt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132).

Beweis(Ableitung der Umkehrfunktion)

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) ist surjektiv und streng monoton, also bijektiv. Also existiert die Umkehrfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134). Da wir angenommen haben, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) ein Intervall ist folgt, nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136) stetig auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) ist. Es gilt damit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138) mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139). Sei nun Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140) eine Folge in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142), dann gilt

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143)

Also ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145) differenzierbar und es gilt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146).

Alternativer Beweis(Ableitung der Umkehrfunktion)

Eine weitere Beweismöglichkeit benutzt eine äquivalente Charakterisierung der Ableitung: Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147) ist in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148) genau dann differenzierbar, wenn es eine in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149) stetige Funktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) gibt mit

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151)

Ist dies der Fall, so gilt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152). Da weiter nach Voraussetzung Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) streng monoton ist, folgt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156). Setzen wir nun Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158), so lautet die obige Gleichung

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159)

Dies ist nun äquivalent zu

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160)

Da Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163) stetig sind, ist auch Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) stetig in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165). Benutzen wir nun nochmal die äquivalente Cahrakterisierung der Stetigkeit, so folgt aus der letzten Gleichung, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) differenzierbar ist in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167) mit

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168)

Merkregel und graphische Veranschaulichung zur Formel[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Leibnizschen Notation für die Ableitung lässt sich die Formel der Ableitung der Umkehrfunktion durch einen einfachen Bruchrechentrick veranschaulichen: Für Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176) gilt

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177)

Auch graphisch können wir die Formel klar machen: Ist die Funktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178) im Punkt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179) differenzierbar, so entspricht Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180) der Steigung der Tangente an dem Graphen in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181). Es gilt daher

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182)

Den Graphen der Umkehrfunktion erthalten wir nun in zwei Schritten:

  1. Zunächst müssen wir den Graphen von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183) um Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184) (im bzw. gegen den Uhrzeigersinn) drehen. Der daraus entstandene Graph hat im Punkt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (185) die Steigung Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (186), da die Tangente in diesem Punkt senkrecht auf der ursprünglichen Tangente steht.
  2. Anschließend müssen wir den Graphen noch (horizontal bzw. vertikal) spiegeln. Dabei dreht sich das Vorzeichen der Tangentensteigung um.

Insgesamt erhalten wir

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187)

Umkehrung des Satzes und Erweiterung auf gesamten Definitionsbereich[Bearbeiten]

Es gilt auch die folgende Umkehrung des Satzes:

Satz(Umkehrung des Satzes von der Ableitung der Umkehrfunktion)

Seien Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189) ein Intervall. Weiter sei Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190) eine surjektive, streng monotone Funktion, die in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (191) differenzierbar ist. Ist weiter die Umkehrfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (192) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (193) differenzierbar, dann gilt: Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194) und

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195)

Beweis(Umkehrung des Satzes von der Ableitung der Umkehrfunktion)

Der Beweis funktioniert mit dem Trick aus der Einleitung. Es gilt für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196) die Gleichung

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197)

Unter den Voraussetzungen ist die linke Seite mit der Kettenregel in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198) differenzierbar mit

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199)

Wegen der Nullteilerfreiheit von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (200) muss daher Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201) sein, und es folgt

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202)

Fordern wir nun zusätzlich im ursprünglichen Satz, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203) auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204) differenzierbar ist mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (205). Dann können wir die Ableitungsfunktion von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (206) auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (207) bestimmen:

Satz(Ableitungsfunktion der Umkehrfunktion)

Seien Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (209) ein Intervall. Weiter sei Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (210) eine surjektive differenzierbare, streng monotone Funktion, und es gelte Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (211) für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212). Dann hat Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213) eine differenzierbare Umkehrfunktion, und es gilt:

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214)

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel(lineare Funktionen)

Sei Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215), Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (216) und

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (217)

eine lineare Funktion. Dann ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218) surjektiv und streng monoton steigend, falls Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219), sowie streng monoton fallend, falls Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220). Außerdem ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221) auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222) differenzierbar mit der Ableitung Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223). Nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion gilt somit für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (224)

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (225)

Dies hätten wir auch, wie oben, direkt nachrechnen können.

Beispiel(Wurzelfunktionen)

Sei für Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (226)

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (227)

Dann ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (228) differenzierbar und hat die Ableitung Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (229). Ist also monoton steigend. Außerdem ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (230) surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (231)-te Wurzelfunktion

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (232)

Für jedes Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (233) folgt dann Mithilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (234).

Ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (235) ungerade, so gilt die Formel für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (236).

Beispiel(Logarithmusfunktion)

Betrachten wir noch die Exponentialfunktion

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (237)

Dann ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (238). Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (239) streng monoton steigend. Außerdem ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (240) surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die (natürliche) Logarithmusfunktion

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (241)

Aus unserem Satz folgt nun für jedes Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (242):

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (243)

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe(Ableitung der Umkehrfunktion)

Zeigen Sie, dass die Funktion

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (244)

eine differenzierbare Umkehrfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (245) besitzt. Bestimmen Sie den Definitionsbereich von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (246) und berechnen Sie Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (247).

Lösung(Ableitung der Umkehrfunktion)

Wir müssen sauber nacheinander alle Voraussetzungen des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion überprüfen.

Beweisschritt: Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (248) ist surjektiv

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (249) ist stetig auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (250) als Komposition stetiger Funktionen. Außerdem gilt

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (251)

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher zu jedem Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (252) ein Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (253) mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (254). Damit ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (255) surjektiv.

Beweisschritt: Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (256) ist streng monoton

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (257) ist auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (258) differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen, und

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (259)

für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (260). Nach dem Monotoniekriterium ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (261) damit streng monoton fallend, und daher injektiv auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (262).

Also ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (263) bijektiv, und hat somit eine Umkehrabbildung Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (264). Der Definitionsbereich Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (265) entspricht dem Wertebereich von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (266).

Beweisschritt: Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (267) ist differenzierbar auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (268) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (269) für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (270)

Die Differenzierbarkeit wurde in Schritt 2 schon begründet. Wegen Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (271) gilt auch Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (272) für alle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (273).

Nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion ist diese auf ganz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (274) differenzierbar.

Beweisschritt: Berechnung von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (275)

Es gilt Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (276). Daher ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (277), und mit der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion ist

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (278)

Aufgabe(Zweite Ableitung der Umkehrfunktion)

Sei Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (279) mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (280), und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (281) eine zweimal differenzierbare bijektive Funktion mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (282). Begründe, dass die Umkehrfunktion Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (283) zweimal differenzierbar ist und drücken Sie die zweite Ableitung von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (284) an der Stelle Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (285) durch Ableitungen von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (286) an geeigneter Stelle aus.

Als Anwendung: Berechne für das Polynom Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (287) die Ableitungen Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (288) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (289).

Lösung(Zweite Ableitung der Umkehrfunktion)

Beweisschritt: Existenz und Bestimmung der ersten Ableitung von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (290)

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (291) ist ein Intervall und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (292) ist bijektiv. Wegen Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (293) gibt es ein Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (294) mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (295). Da Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (296) ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (297). Nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (298) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (299) differenzierbar mit

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (300)

Beweisschritt: Existenz und Bestimmung der zweiten Ableitung von Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (301)

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (302) ist zweimal differenzierbar. Dies bedeutet, dass Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (303) differenzierbar ist. Nach der Quotienten- und Kettenregel ist damit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (304) in Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (305) ebenfalls differenzierbar und es gilt

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (306)

Beweisschritt: Berechnung der Ableitungen Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (307) und Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (308)

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (309) ist auf Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (310) differenzierbar mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (311). Also ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (312) streng monoton steigend und damit injektiv. Wegen Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (313) ist nach dem Zwischenwertsatz Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (314) auch surjektiv. Also insgesamt bijektiv. Mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (315) folgt nun aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (316)

Weiter ist Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (317) zweimal differenzierbar mit Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (318). Mit der in Schritt 2 bewiesenen Formel gilt daher

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (319)

Beispiele für Ableitungen

Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (320)

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Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (324)

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Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

FAQs

Wie leitet man eine umkehrfunktion ab? ›

Wie leitet man die Umkehrfunktion einer Funktion ab? Um die Umkehrfunktion einer Funktion abzuleiten, verwendest Du die Formel (f^{-1})'(y) = 1 / f'(x), wobei x ein Wert ist, für den f(x) = y gilt.

Wann ist eine Funktion umkehrbar Ableitung? ›

Nur Funktionen, die durchgehend differenzierbar sind, können umgekehrt werden! Das heißt, wenn eine Funktion an einer Stelle mehrere oder gar keine y-Werte für einen x-Wert hat, kann sie nicht umgekehrt werden.

Wie löst man umkehrfunktionen? ›

Vorgehensweise - eine Umkehrfunktion bilden. Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion nach x umgestellt werden. Es werden x und y vertauscht, wobei sich auch die Definitions- und die Wertemenge vertauschen. Die Funktion nach x auflösen.

Was ist eine Umkehrfunktion einfach erklärt? ›

In der Mathematik bezeichnet die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

Wann ist eine Funktion umkehrbar und wann nicht? ›

Im Allgemeinen ist eine Funktion nur dann umkehrbar, wenn jedes Argument einen einzigartigen Funktionswert hat. Das heißt, jedes Argument hat genau einen Funktionswert. Wenn also die Zuordnung umkehrt ist, ist das Ergebnis wieder eine Funktion!

Wie zeigen dass Funktion umkehrbar ist? ›

Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind. Sollte dieses Kriterium nur für Intervalle des Definitionsbereichs erfüllt sein, so ist die Funktion nur für diese Intervalle umkehrbar. Es existiert eine Umkehrfunktion y = f − 1 x .

Was ist die Ableitung von tan? ›

Die Ableitung vom Tangens kannst du dir leicht merken: Die Tangensfunktion f(x) = tan(x) hat die Ableitung f'(x) = 1/cos2(x). Dabei ist cos2(x) = (cos(x))2.

Wie bestimmt man die Umkehrfunktion? ›

Grafisch kannst du die Umkehrfunktion bilden, indem du die Funktion an der Winkelhalbierenden, also an der Funktion g(x) =x, spiegelst. Die Umkehrfunktion der Funktion f(x) wird mit f^{\textcolor{red}{-1}} (x) gekennzeichnet. Die hochgestellte \textcolor{red}{-1} ist also das Zeichen für die Umkehrfunktion.

Wie leitet man ein Funktion ab? ›

Mit der Potenzregel kannst du von Funktionen die Ableitung bilden, die nur aus x mit einer Hochzahl bestehen, zum Beispiel x2, x3 und so weiter. Für die Ableitung ziehst du die Hochzahl nach vorne und verringerst dann die Hochzahl um 1: f(x) = x2 → f'(x) = 2x21 = 2x. f(x) = x3 → f'(x) = 3x31 = 3x.

Wie finde ich heraus ob eine Funktion umkehrbar ist? ›

Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind. Sollte dieses Kriterium nur für Intervalle des Definitionsbereichs erfüllt sein, so ist die Funktion nur für diese Intervalle umkehrbar. Es existiert eine Umkehrfunktion y = f − 1 x .

Wie leitet man LN ab? ›

Ableitung der ln-Funktion

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x) ist also g′(x)=1x.

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