Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)
    • Die komplexen ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7)
    • Supremum und InfimumEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • Wurzel reeller ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • FolgenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Konvergenz und DivergenzEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • ReihenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • Konvergenzkriterien für ReihenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
    • PotenzreihenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
      • Herleitung und Definition der ExponentialfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
      • Eigenschaften der ExponentialfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
      • LogarithmusfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
      • Verallgemeinerte PotenzenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
      • Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
      • AufgabenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
    • StetigkeitEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)
    • AbleitungEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25)
    • IntegraleEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Eine Ungleichung[Bearbeiten]

Satz

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31). Dann gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32).

Beweis

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33)

Sei also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34). Es gilt die Bernoulli-Ungleichung, d.h. für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37)

Es gilt wegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38), dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40). Wir setzen nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41). Es folgt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42)

Also:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43)

Fall 2: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44)

Sei nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45). Dann gibt es ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46), so dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) gilt, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) und somit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49). Damit gilt auch Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50). Folglich ist

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51)

Da Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53).

Ein nützlicher Grenzwert[Bearbeiten]

Nun betrachten wir den Grenzwert Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54). Dieser ist an vielen Stellen nützlich zum Beispiel bei der Berechnung der Ableitung der e-Funktion.

Um den Grenzwert zu beweisen, brauchen wir zuerst eine Abschätzung:

Satz(Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57), dann gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58)

Beweis(Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Es gilt wegen der Definition der Exponentialfunktion

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59)

Mit dieser Abschätzung können wir nun unseren Grenzwert beweisen:

Satz

Es gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60). Hierbei ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61) in den komplexen Zahlen gemeint.

Beweis

Wir haben vorher gesehen, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) und für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65)

Benutzen wir jetzt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66), dann folgt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68)

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69)

Sei nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70) eine Folge in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74).Dann gibt es ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75), so dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77).Also folgt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79)

Somit gilt auch, da Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80),

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81)

Nach dem Sandwich-Theorem gilt dann Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82).

Da unsere Folge beliebig gewählt war gilt also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83)

Funktionalgleichung [Bearbeiten]

In diesem Abschnitt zeigen wir den folgenden

Satz

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85) gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86)

Wie kommt man auf den Beweis?

Dazu benutzen wir die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Die linke Seite ist:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87)

Und die rechte Seite ist

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88)

Das ist genau das Cauchy-Produkt von Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89). Dazu müssen wir wissen, dass die Reihe Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90) bzw. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) absolut konvergiert.

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93)

und das ist, wie bereits gezeigt, eine reelle Zahl. Also konvergieren die Reihen absolut und damit folgt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94)

Beweis

Zunächst bemerken wir, dass die Reihe Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) absolut konvergiert. Denn

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97)

und die Exponentialfunktion ist wohldefiniert.Es gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98)

Positivität[Bearbeiten]

Satz

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99). Dann gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100).

Beweis

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101)

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102). Dann gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103).

Fall 2: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104)

Sei nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105). Nach der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106)

Aus dem ersten Fall wissen wir schon, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107) gilt, denn Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108).Es folgt also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109).

Monotonie[Bearbeiten]

Satz

Die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110) ist streng monoton steigend.

Beweis

Seien Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112). Dann können wir Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) schreiben. Aus dem vorher bewiesenen Satz bekommen wir also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115). Dann folgt mit der Funktionalgleichung:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116)

Stetigkeit der Exponentialfunktion[Bearbeiten]

To-Do:

Diesen Teilabschnitt eventuell verschieben, da die Stetigkeit der Exponentialfunktion vor dem Kapitel zur Stetigkeit bewiesen wird.

In diesem Kapitel beweisen wir die Stetigkeit der Exponentialfunktion

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118)

Dazu zeigen wir zunächst, dass die Funktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119) an der Stelle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) stetig ist. Anschließend beweisen wir die Stetigkeit in allen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121). Dabei benutzen wir die Stetigkeit in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122) und die Regel Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124).

Satz

Die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125) ist stetig in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126).

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir müssen also zeigen, dass es für ein gegebenes Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) gibt, so dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131)

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132) gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133)

In einem vorherigen Satz haben wir folgende nützliche Abschätzung für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) bewiesen:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136)

In unserem Fall gilt somit für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139)

Folglich können wir Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140) so wählen, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142) die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143), d.h. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144)
  2. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145), d.h. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146)

Also setzen wir Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147).

Beweis

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148). Setze Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149). Dann gilt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152)

Also ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153) in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) stetig.

Satz

Die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) ist stetig.

Wie kommt man auf den Beweis?

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) beliebig. Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) eine komplexwertige Folge, die gegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158) konvergiert, d.h. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159).

Wir können nun die Folge Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) betrachten, wobei wir für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161) definieren: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162). Wegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163) konvergiert die Folge Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) gegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165).

Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) stetig in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167) ist. Also:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168)

Wir gehen nun zurück zu unserer Folge Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169). Wir wollen zeigen, dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170)

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172)

Also:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173)

Folglich ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174) stetig in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175). Da Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176) beliebig gewählt war, ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177) stetig.

Beweis

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179) eine Folge in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180), die gegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181) konvergiert. Dann gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182)

Somit ist die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183) stetig.

Bijektivität[Bearbeiten]

Wir haben schon gesehen, dass wir die Exponentialfunktion aufgrund der Positivität als eine Funktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184) in die positiven reellen Zahlen auffassen können.Wir beweisen jetzt die Bijektivität dieser Funktion.

Satz

Die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (185) ist bijektiv.

Beweis

Weil die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, ist sie insbesondere injektiv. Es bleibt noch die Surjektivität zu zeigen. Sei dazu ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (186) gegeben.Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187)

Es gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190).

Fall 2: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (191)

Nach dem ersten Fall finden wir ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (192) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (193). Somit gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194).

Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente[Bearbeiten]

Wir haben schon gezeigt, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195) folgende Gleichung gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196)

Mit den Mitteln, die wir in diesem Kapitel erarbeitet haben, können wir nun einen anderen Beweis für diese Gleichung angeben. Für den Beweis nutzen wir die Funktionalgleichung, die Monotonie der Exponentialfunktion für reelle Argumente und den Grenzwert Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197).

Satz(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199)

Damit zeigen wir dann auch insbesondere, dass der Grenzwert Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (200) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201) existiert. Denn wir haben bereits gezeigt, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202).

Zusammenfassung des Beweises(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203). Wir schreiben zunächst für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204)

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (205)

Anschließend zeigen wir, dass man Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (206) schreiben kann als Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (207), wobei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208). Außerderdem gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (209). Folglich ist

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (210)

Wie kommt man auf den Beweis?(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

To-Do:

Herausfinden, wie man auf diesen Beweis kommt

Beweis(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Im Beweis sei für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212) der Ausdruck Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213). Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214). Dann gilt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (216)

Weiter gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (217)

Wir haben bereits bewiesen, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218). Wegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219) folgt somit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220).

Als nächstes beweisen wir zwei Abschätzungen, die wir in unserer späteren Rechnung brauchen werden.

1. Ungleichung

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221)

2. Ungleichung

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222)

Somit gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223)

Nun können wir alle Teile zusammensetzen.

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (224)

Damit haben wir gezeigt, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (225) gilt, dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (226)

Ableitung[Bearbeiten]

Logarithmusfunktion

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (227)

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Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

FAQs

Was ist das Besondere an der e-Funktion? ›

Die e-Funktion: Eigenschaften

Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da eine Potenz niemals Null sein kann. Also gilt stets $f(x)$ = $e$ x ≠ $0$. Ihr Graph nähert sich mit kleiner werdendem $x$ immer mehr der $x$-Achse und es gilt $\lim\limits_{x \to -∞} $ $e$x = $0$.

Für was braucht man Exponentialfunktion? ›

Inhalt: Die Exponentialfunktion dient zur Beschreibung von extremem Wachstum und Zerfall. Die Variable steht im Exponenten.

Ist die Exponentialfunktion stetig? ›

Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches analytisch sind, ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt trivialerweise auch stetig.

Welche Eigenschaften kann eine Funktion haben? ›

Die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen sind Monotonie, Krümmung, Symmetrie, Periodizität, hom*ogenität und Inhom*ogenität.

Wie lautet die allgemeine Exponentialfunktion? ›

Die allgemeine Exponentialfunktion hat folgende Form: f ( x ) = a · b x . Die allgemeine Exponentialfunktion kann man in die e-Funktion umwandeln f ( x ) = a · b x = a · e x · ln b .

Hat eine Exponentialfunktion Wendestellen? ›

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Symmetrie, keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

Was ist der Unterschied zwischen e-Funktion und Exponentialfunktion? ›

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen. Sie schneidet die y-Achse an dem Punkt 0 | 1 . Die natürliche Exponentialfunktion nimmt keine negativen Werte an. Ihre Umkehrfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion f - 1 ( x ) = ln x .

Wer hat die Exponentialfunktion erfunden? ›

Die Eulersche Zahl wurde nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (1707-1783) benannt. Warum ist die Zahl e wichtig? Unter anderem beinhaltet die natürlich Exponentialfunktion f(x) = ex die Eulersche Zahl. Diese Funktion ist in vielen naturwissenschaftlichen Bereichen von großer Bedeutung.

Was ist die Basis der Exponentialfunktion? ›

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form f(x)=ax hat. Dabei ist die Basis a eine reelle positive Zahl ungleich 0 oder 1 und der Exponent x eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen.

Was ist das Argument bei einer Exponentialfunktion? ›

Die allgemeine Exponentialfunktion lautet \(f(x) = a \cdot b^x\). Es kann vorkommen, dass die Funktionsgleichung noch den Parameter d enthält, welcher den Funktionsgraphen in y-Richtung verschiebt. Der Parameter \(a\) gibt den y-Achsenabschnitt an, kann aber durch den Parameter d verändert werden.

Hat die Exponentialfunktion eine Nullstelle? ›

Exponentialfunktionen. Eine Exponentialfunktion hat in der Regel keine Nullstelle. Ausnahme: die Funktion ist nach unten in y y y y -Richtung verschoben! Der Logarithmus ⁡ ln(0) ist nicht definiert.

Wie erkennt man eine Exponentialfunktion? ›

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet:
  • f(x) = a^x.
  • Die Variable (x) steht im Exponenten. ...
  • Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form f(x)=ax, wobei a eine positive reelle Zahl ungleich 1 und x eine beliebige reelle Zahl ist.

Ist die Exponentialfunktion differenzierbar? ›

Damit ist auch die Exponentialfunktion differenzierbar auf ganz R, und sie ist ihre eigene Ableitung. (f + g)′(x) = f′(x) + g′(x) .

Ist eine Exponentialfunktion Bijektiv? ›

Die Exponentialfunktion exp : R → R+ ist bijektiv.

Was kennzeichnet exponentielles Wachstum? ›

Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht.

Können Exponentialfunktionen Extremstellen haben? ›

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Symmetrie, keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

Was ist der Unterschied zwischen lineare Funktion und Exponentialfunktion? ›

Eine lineare Funktion erkennt man daran, dass die mittlere Änderungsrate bei dieser Funktion immer gleich groß ist. Im Gegensatz dazu bleibt bei exponentiellen Funktionen die relative Änderungsrate immer gleich. Diese beiden Eigenschaften werden auch verwendet, um die Funktionsgleichungen zu bestimmen.

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Author: Cheryll Lueilwitz

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