Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Die komplexen ZahlenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Supremum und InfimumFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • Wurzel reeller ZahlenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • FolgenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
    • Konvergenz und DivergenzFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
    • ReihenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
    • Konvergenzkriterien für ReihenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
    • PotenzreihenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
    • StetigkeitFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
    • AbleitungFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
    • IntegraleFolgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)

Ähnlich wie bei den Körperaxiomen beweisen wir nun erste kleinere Sätze, die direkt auf den Anordnungsaxiomen aufbauen. Insbesondere werden wir die charakteristischen Eigenschaften der Kleiner-Relation beweisen, die wir bereits im Abschnitt „Herleitung der Anordnungsaxiome“ erwähnt haben.

Übersicht zu den Folgen der Anordnungsaxiome[Bearbeiten]

In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass folgende Aussageformen allgemeingültig in Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25) sind:

  • Eigenschaften der Kleiner-Relation:
    • Trichotomie: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)
    • Transitivität: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27)
    • Translationsinvarianz: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28)
  • Addition / Negatives und Kleiner-Relation:
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30)
  • Multiplikation und Kleiner-Relation:
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35)
  • Inverses und Kleiner-Relation:
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39)
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40)
  • Bernoulli-Ungleichung:
    • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41)

Die Bernoulli-Ungleichung Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42) werden wir im Kapitel zur „Bernoulli-Ungleichung“ beweisen.

Eigenschaften der Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Trichotomie[Bearbeiten]

Satz(Trichotomie der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44) ist entweder Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45), Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46) oder Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47). Es gilt also:

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48)

Beweis(Trichotomie der Kleiner-Relation)

Mit Hilfe der Äquivalenz Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) können wir die zu beweisende Aussage

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50)

umformen zu

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51)

Für gegebene Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) müssen wir also beweisen, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54). Durch das Setzen von Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55) erhalten wir die zu beweisende Aussage

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56)

Dies ist aber gerade die Trichotomie der Positivität, welche wir in den Anordnungsaxiomen gegeben haben und damit wahr ist. Insgesamt haben wir so den Satz bewiesen.

Transitivität[Bearbeiten]

Satz(Transitivität der Kleiner-Relation)

Für alle Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57), Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59) gilt

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60)

Die Transitivitätseigenschaft der Kleiner-Relation rechtfertigt es, Ungleichungsketten wie

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61)

zu schreiben. Wegen der Transitivität folgt dann nämlich auch Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62).

Beweis(Transitivität der Kleiner-Relation)

Sei Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64). Nach Definition der Kleiner-Relation gilt damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66). Wegen der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Addition ist damit auch

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67)

Damit ist aber auch Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68) nach Definition der Kleiner Relation.

Translationsinvarianz[Bearbeiten]

Satz(Translationsinvarianz der Kleiner-Relation)

Für alle reellen Zahlen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70), Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) ist

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73)

Addition / Negatives und Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Monotonie der Addition[Bearbeiten]

Satz(Monotonie der Addition)

Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) folgt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77).

Beweis(Monotonie der Addition)

Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) folgt wegen der Translationsinvarianz der Kleiner-Relation Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79). Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) folgt analog Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81). Es ist also Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82). Aus der Transitivität folgt nun Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83).

Alternativer Beweis(Monotonie der Addition)

Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85) folgt aus der Definition der Kleiner-Relation Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87). Nun sind nach den Anordnungsaxiomen die positiven Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition. Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89) folgt damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90). Nun wenden wir nochmals (allerdings in umgekehrter Richtung) die Definition der Kleiner-Relation an, so dass aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) die Ungleichung Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92) folgt. Damit ist der Satz bewiesen.

Spiegelung bei Bildung des Negativen[Bearbeiten]

Satz(Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Es ist genau dann Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93), wenn Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94) ist.

Beweis(Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95)

Alternativer Beweis(Spiegelung bei Bildung des Negativen)

Sei Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96). Es ist

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97)

Multiplikation und Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Multiplikation mit positiver Zahl[Bearbeiten]

Satz(Multiplikation mit positiver Zahl)

Ist Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99), dann ist auch Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100).

Die Multiplikation mit einer positiven Zahl erhält also die Ungleichungsrelation.

Beweis(Multiplikation mit positiver Zahl)

Aus der Definition der Kleiner-Relation folgt aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101) die Ungleichung Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102). Weil die Mulitplikation bezüglich der Positivität abgeschlossen und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103) ist, ist auch Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104). Also Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105). Daraus folgt nach der Definition der Kleiner-Relation Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106).

Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen[Bearbeiten]

Satz(Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108) folgt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109).

Beweis(Monotonie der Multiplikation mit nicht-negativen Zahlen)

Fall 1: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110) oder Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111)

In diesem Fall ist Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112). Es muss also bewiesen werden, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) ist. Jedoch ist nach Voraussetzung Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115). Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116) folgt nun aus der Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich der Multiplikation, welche in den Anordnungsaxiomen definiert wurde.

Fall 2: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118)

Wegen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) ist nach dem vergangenem Satz Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121). Gleichzeitig folgt aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) analog Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124). Ingesamt haben wir Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125) und damit insgesamt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126).

Multiplikation mit negativer Zahl[Bearbeiten]

Satz(Multiplikation mit negativer Zahl)

Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) folgt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129).

Beweis(Multiplikation mit negativer Zahl)

Nach dem Satz über die Spiegelung folgt aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130), dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) ist. Nach dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen ist dann Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132). Nun können wir wieder den Satz zur Spiegelung anwenden und erhalten Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) und damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134), weil Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) ist.

Produkte mit negativen Faktoren sind positiv[Bearbeiten]

Satz(Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) folgt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138).

Beweis(Produkte mit negativen Faktoren sind positiv)

Nach dem Satz „Multiplikation mit negativer Zahl“ folgt aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140), dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) ist. Es ist also Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142).

Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv[Bearbeiten]

Satz(Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Alle Quadrate Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) für Zahlen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144) sind positiv.

Zusammen mit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145) folgt aus dem obigen Satz direkt, dass Quadratzahlen nicht negativ sind. Da wir im Kapitel „Folgerungen aus den Körperaxiomen“ bewiesen haben, dass ein Produkt von reellen Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, gilt zusätzlich die Äquivalenz Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146). Damit und aus dem obigen Satz folgt die Äquivalenz Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147).

Außerdem kann mit diesem Satz bewiesen werden, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148) eine positive Zahl ist. Es ist nämlich Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149) und damit ist Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) eine Quadratzahl. Nach den Körperaxiomen ist Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151) und damit folgt aus obigem Satz, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152) eine positive Zahl sein muss.

Beweis(Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv)

Fall 1: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153)

Aus dem Satz zur Multiplikation mit positiven Zahlen folgt aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154), dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155), also Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) ist.

Fall 2: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157)

Mit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158) folgt aus dem Satz zur Multiplikation mit negativen Zahlen, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159) ist und damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160).

Inverses und Kleiner-Relation[Bearbeiten]

Inverse haben gleiches Vorzeichen[Bearbeiten]

Satz(Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Es ist genau dann Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161), wenn Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162).

Beweis(Inverse positiver Zahlen sind positiv)

Fall 1: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163)

Wegen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) ist Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165) und damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) positiv, weil wir bereits gezeigt haben, dass Quadrate von Zahlen ungleich 0 positiv sind. Es folgt damit nach dem Satz zur Multiplikation mit positiver Zahlen, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167) ist. Nun ist Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169) und damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170).

Fall 2: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171)

Aus dem ersten Fall folgt aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172), dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173) ist. Wegen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174) ist somit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175).

Satz(Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Es ist genau dann Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176), wenn Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177) ist.

Beweis(Inverse negativer Zahlen sind negativ)

Sei Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178) eine negative Zahl, also Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179). Aus der eben bewiesenen Äquivalenz Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180) wissen wir, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181) nicht positiv sein kann (sonst müsste ja Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182) auch positiv sein). Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183) ist aber auch nicht 0, weil sonst Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184) wäre. Also muss Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (185) negativ sein aufgrund der Trichotomie der Kleiner-Relation. Analog kann man von der Negativität von Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (186) auf die Negativität von Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187) schließen.

Kleiner-Relation und Inversenbildung[Bearbeiten]

Satz(Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Für alle Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188) gilt:

  • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189).
  • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190).
  • Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (191).

Beweis(Kleiner-Relation und Inversenbildung)

Beweisschritt 1: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (192)

Wegen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (193) gilt sowohl Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194) als auch Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195) (Transitivität der Kleiner-Relation). Da sowohl Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196) als auch Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197) positiv sind, ist auch ihr Produkt positiv (Abgeschlossenheit der Positivität bezüglich Multiplikation). Es gilt also: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198). Somit gilt aber auch:Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199) (Inverse haben gleiches Vorzeichen). Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (200). Wegen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202) ist deshalb Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203). Da außerdem Inverse stets dieselben Vorzeichen haben (Siehe Beweis zum Satz Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204)), ist Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (205).

Beweisschritt 2: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (206)

Sei Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (207). Nach dem ersten Beweisschritt ist damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208). Da Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (209) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (210) ist, ist damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (211).

Beweisschritt 3: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212)

Sei Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213). Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt, dass sowohl Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214) als auch Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215) ist. Aus dem Satz „Produkte mit negativen Faktoren sind positiv“ folgt, dass ihr Produkt positiv ist. Es gilt also: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (216). Somit ist auch: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (217) (Inverse haben gleiches Vorzeichen).

Aus dem Satz zur Multiplikation mit einer positiven Zahl folgt nun aus Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219), dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220). Wegen Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222) ist deshalb Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223). Da Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (224) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (225) negativ sind (Inverse haben gleiches Vorzeichen), ist damit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (226).

Beweisschritt 4: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (227)

Sei Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (228). Aus dem dritten Beweisschritt folgt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (229). Mit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (230) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (231) folgt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (232).

Beweisschritt 5: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (233)

In diesem Fall findet hingegen keine Umkehrung der Kleiner-Relation. Der Grund dafür ist, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (234) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (235) ungleiches Vorzeichen haben. Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (236) wird nämlich als negativ vorausgesetzt und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (237) als positiv. Da Inverse, wie bereits bewiesen, ihr Vorzeichen beibehalten, gilt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (238) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (239). Aus der Transitivität der Kleiner-Relation folgt somit, dass Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (240) ist. Insgesamt folgt also: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (241)

Beweisschritt 6: Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (242)

Dies folgt aus dem fünften Beweisschritt. Nach diesem gilt Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (243). Mit Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (244) und Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (245) folgt die zu zeigende Aussage.

Betragsfunktion, Maximum und Minimum

Folgerungen der Anordnungsaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (246)

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